MATEMATICA E STATISTICA

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.

Conoscenza e capacità di comprensione: 

Questo corso di Analisi Matematica I mira a fornire una solida base nei concetti matematici essenziali di numeri reali, funzioni continue, derivate, integrali e serie, consentendo agli studenti di applicare questi strumenti in modo efficace nella risoluzione dei problemi di ingegneria. Attraverso uno studio rigoroso e applicazioni pratiche, gli studenti svilupperanno una conoscenza e una comprensione adeguate di questi principi matematici, dotandoli delle capacità analitiche necessarie per il successo nel loro corso di studi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Gli studenti sono incoraggiati a sfruttare la conoscenza degli strumenti matematici per risolvere problemi di ingegneria. Attraverso esercizi pratici e applicazioni nel mondo reale, gli studenti svilupperanno la capacità di utilizzare questi concetti matematici come potenti strumenti di analisi e progettazione ingegneristica.

Autonomia di giudizio:

Gli studenti saranno sfidati ad esprimere giudizi informati valutando l'appropriatezza e l'accuratezza delle tecniche matematiche applicate a problemi di ingegneria. Svilupperanno la capacità di valutare criticamente e selezionare i metodi matematici più adatti, migliorando le loro capacità di problem-solving nei processi decisionali.

Abilità comunicative:

Il corso pone una forte enfasi sullo sviluppo di capacità comunicative efficaci, fornendo agli studenti la capacità di articolare concetti matematici e approcci di risoluzione dei problemi in modo chiaro e conciso. Attraverso esercizi e discussioni collaborative, gli studenti impareranno a trasmettere idee matematiche complesse a un pubblico sia tecnico che non tecnico, un'abilità cruciale per il successo nella loro carriera.

Capacità di apprendimento:

Verranno coltivate le capacità di apprendimento di base, compreso lo studio autodiretto, le strategie di risoluzione dei problemi e l'adattabilità nell'affrontare le sfide matematiche. Attraverso una varietà di esercizi e autovalutazioni, gli studenti svilupperanno la capacità di esplorare e applicare in modo indipendente concetti matematici, favorendo una capacità permanente di apprendimento continuo.

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali.

 Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. 

2. INSIEMI NUMERICI. 

Gli insiemi numerici N, Z, Q. Proprietà dei razionali. L’insieme dei numeri reali. Insiemi separati. Estremi di un insieme numerico. 

3. ALGEBRA LINEARE.

Sistemi lineari. Matrice associata ad un sistema lineare. Determinante. 

4. GEOMETRIA PIANA. 

Il piano cartesiano. Distanza tra due punti. Punto medio di un segmento. Simmetrico di un punto rispetto a un punto. Area di un triangolo. Punti allineati. Rappresentazione analitica di una retta. Coefficiente angolare. Parallelismo tra rette. Circonferenza trigonometrica. Radiante. Funzioni e identità trigonometriche. Significato geometrico del coefficiente angolare di una retta. Perpendicolarità tra rette. Simmetrico di un punto rispetto ad una retta. Distanza di un punto da una retta. Parabola. 

5. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI.

Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche. 

6. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE. 

Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale. 

7. LIMITI DI FUNZIONE

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limite di funzioni monotone. Numero di Nepero. Limiti notevoli. Asintoti al grafico di una funzione. Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri* e dei valori intermedi*. Teorema di Weierstrass*. Continuità delle funzioni monotone*. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse*. 

8. CALCOLO DIFFERENZIALE 

Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma, prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e sue conseguenze. Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L’Hospital*. Grafici delle funzioni elementari. Studio del grafico di una funzione. 

9. INTEGRALE INDEFINITO. 

Primitive. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà degli integrali. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. 

10. INTEGRALE DEFINITO. 

Integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Significato geometrico dell’integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. 

11. STATISTICA 

Popolazione, campione, unità statistica, caratteri. Distribuzione unidimensionale di frequenze. Istogramma. Mediana. Boxplot. Media aritmetica. Varianza. Deviazione standard. Distribuzione congiunta di due caratteri quantitativi. Regressione lineare. Evento. Esperimento aleatorio. Concezione frequentista di probabilità. Funzione densità di probabilità. Distribuzione di probabilità. La distribuzione normale di probabilità. 

Gli argomenti con * si intendono senza dimostrazione.

1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill 

2. G. Fiorito, Analisi Matematica 1, Spazio Libri

3. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori

4. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

5. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

6. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

7. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

8. M. Gionfriddo, Istituzioni di matematiche, Culc, Catania.

9. A. Guerraggio, Matematica per le scienze, Pearson.

10. V. Villani – G. Gentili, Matematica 5/ed Comprendere e interpretare fenomeni delle scienze della vita, Mc Graw-Hill.

L’esame finale consiste in una prova scritta e un colloquio orale. Si accede al colloquio orale se si supera la prova scritta con un voto non inferiore a 15/30. L'esame si intende superato se si sostiene un colloquio orale giudicato almeno sufficiente (18/30).

La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Criteri per l’attribuzione del voto: sia per la prova scritta che per la prova orale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

Non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Definizione di funzione continua

Implicazioni del teorema di Fermat

Definizione geometrica del concetto di integrale